بالتأكيد سمعنا أن جون ناش توفي في حادث سيارة في 23 أيار الحالي ، لقد حصل هذا العالم الرياضي الفذ على العديد من التقديرات ، كان أشهرها مذكرات سيلفيا ناسار ” عقل جميل ” ثم الفلم الذي يجسدها.

بعد وفاته، تردد الكثير من الحديث عن” نظرية الألعاب”، لكن القليلين تحدثوا عن إنجازات جون ناش الأخرى العديد من علماء الرياضيات الذين فهموا جيداً أعمال ناش سيوافقونني الرأي ، فعلى الرغم من أن نظرية الألعاب لها أعظم التأثير في المجالات الأخرى ،ولكن ناش حقق اختراقات أخرى قد تكون أعظم تأثيراً.

شملت تطويرات ناش مجالات متنوعة مثل الجبر ، الهندسة ، الطبوغرافيا ، المعادلات التفاضلية الجزئية والتشفير، ولم تقتصر على نظرية الألعاب .لكن نتائج ناش الأكثر إثارة كانت في علم الهندسة ،و تكريماً لحياة ناش أردنا أن نسلط الضوء على بعض أعماله.

– جون ناش والرياضيات الصرفة: لقد كان لناش إنجاز عظيم في مجال الهندسة التفاضلية ، وهي مختلفة تماماً عن الهندسة التي يتم تدريسها في المرحلة الثانوية ،كما أنها لا تتحدث عن المثلثات أو فيتاغورس التي عرفناها في المرحلة الإعدادية ، بل تتحدث عن موضوعات أخرى مثل المساحات والمنحنيات.

عمل ناش كان حالة استثنائية ، أوراقه كان تقدم بشكل عشوائي ،ومن الصعب تتبعها ، نهجه في حل المشاكل كان مختلفاً عن كل من أتى قبله، يربك الطلاب والخبراء على حد سواء ، بل إن إبداعه آتٍ من عالم آخر.

وباعتبار أن المناقشات الرياضية مقيدة بالمتطلبات الصارمة لعلم المنطق ، فإن مقيدات وطرق ناش كان صارمة جداً ، ولم يكن أحد أكثر صرامة من ذلك.
– هندسة ناش : خذ قطعة مسطحة من الورق ، يمكنك أن تطويها بدون أن تمزقها أو تجعدها ،ماهي الأشكال التي يمكنك صنعها؟…. لا يمكنك أن تصنع منها كرة ، ولا حتى جزءاً من الكرة وذلك لأن الكرة منحنية ، والورقة مسطحة.

ولكن يمكنك أن تصنع أسطوانة أو مخروط ، فالأسطوانة والمخروط تبدو منحنية ولكنها في حقيقتها وجوهرها مسطحة. وفي إحدى مساقات الهندسة التفاضلية قبل تخرجه ، درس ناش هذا الاختلاف الجوهري ، وأوضح أنه هناك الكثير من السطوح المسطحة. وبالرغم من وجود هذه الأفكار قبل ناش بمئات السنين فإن ناش قام بتطويرها.

– مشكلة التضمين : اهتم ناش بفكرة تضمين السطوح ، أي وضعها في الفضاء دون تمزقها ، تجعيدها أو عبورها لنفسها ،التضمين الذي لا يشوه الهندسة الجوهرية للسطح هو التضمين متساوي القياس .

مسألة التضمين متساوي القياس لا تتعلق فقط بالصفيحة ، يمكن أن تطبق من أجل سطوح أخرى أيضاً ، مثل الكرات والكعك.

كما نعلم هناك سطوح منحنية بشدة أو متشابكة لدرجة لا يمكن معها تضمينها في فضاء ثلاثي الأبعاد ،و لا حتى في فضاء رباعي الأبعاد.

ولكن ناش وضح بأن أي سطح يمكن أن يتم تضمينه في فضاء ب17 بعداً ، ولاحقاً تمت تطوير أبحاث ناش والآن نعلم أن أي سطح يمكن أن يتم تضمينه في 5 أبعاد.

السطح يتألف من بعدين فقط ، ولكن ناش كان مهتما بالسطوح التي تتألف من كل الأبعاد الممكنة ، مقلدات السطوح هذه عالية الأبعاد تسمى manifolds
أثبت ناش أنه بإمكانك تضمين جسم الـmanifolds ” المؤلف من عناصر مختلفة ” في فضاء بأبعاد متعددة دون أن تخرب بنيته الهندسية ،بهذه النتيجة الأساسية تم حل فكرة التضمين المتساوي الأبعاد.

إثبات ناش لمشكلة التضمين متساوي القياس كان مفاجأة كبيرة لمجتمع الرياضيين ، وطريقته كانت ثورية .

– العالم في حبة رمل : عمل ناش في التضمين متساوي القياس ومشاكله قاد إلى كميات هائلة من الأبحاث اللاحقة .

قضية مهمة جداً هي كيفية تركيب التضمين المتساوي القياس ، حيث أظهر أنه للتضمين متساوي القياس لسطح في فضاء ثلاثي الأبعاد ، يكفي تصغيره.
فإذا حصلت على تضمين مصغر للسطح المطلوب ـ أي بتصغير جميع أبعاده ـ يمكنك الحصول على التضمين متساوي القياس فقط عن طريق تعديل نسختك المصغرة قليلاً.

قد يبدو هذا سخيفاً ، مثلاً، خذ السطح الكروي لكرة التنس وقم بتصغيره حتى الحصول على دائرة نانومترية ، ناش أظهر أنه “بإزعاج ” السطح بشكل كافي ، ولكن من دون تشقق أو حدوث فتحات أو تقسيم ، سنحصل على النسخة متساوية القياس من كرة التنس كلها محتواة في هذه الدائرة النانومترية .

كيف فعل ذلك ؟؟

يملك ناش اتحاداً نادراً بين العبقرية والعمل الجاد ، لقد تحدثت سلفيا ناسار في سيرتها الذاتية عن تفاصيل الجهد الكبير الذي قضاه ناش في حل المشكلة.
كما شاهدنا في الفلم ، ناش كان يؤمن بنظريات المؤامرة الغريبة التي تنطوي على الأجانب والكائنات الخارقة وذلك بسبب إصابته بالفصام، وعندما تم سؤاله كيف لعالم ذكي مثلك أن يؤمن بهكذا نظريات؟ أجاب “بأن هذه الأفكار كانت قد جاءتني كما جاءتني الأفكار الرياضية لذلك أخذتها على محمل الجد. وبصراحة، إذا كان رأسي يعطيني أفكاراً دقيقة وثاقبة مثل تلك الأفكار التي احتجتها لإثبات نظرية التضمين ثلاثي الأبعاد ، فإنني حتماً سأثق به وأقتنع بالغرباء والكائنات الخارقة أيضاً”.